若方程 $a^x=x(a>0,a\ne 1)$ 有两个不等实根，则实数 $a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛贵州省预赛
【标注】
【答案】
$1<a<e^{\tfrac{1}{e}}$
【解析】
由 $a^x=x$ 知 $x>0$，故 $x\cdot\ln a-\ln x=0\Rightarrow \ln a=\dfrac{\ln x}{x}$．令 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}(x>0)$，则 $f^\prime(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$．当 $x\in(0,e)$ 时，$f^\prime(x)>0$；当 $x\in(e,+\infty)$ 时，$f^\prime(x)<0$．所以 $f(x)$ 在 $(0,e)$ 上递增，在 $(e,+\infty)$ 上递减．故 $0<\ln a<f(e)=\dfrac{1}{e}$，即 $1<a<e^{\tfrac{1}{e}}$．
题目
答案
解析
备注
