设点 $P,Q$ 分别在函数 $y=2^x$ 和 $y=\log_2x$ 的图像上，则 $|PQ|$ 的最小值 $=$ ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac{1+\ln(\ln 2)}{\ln 2}\sqrt{2}$
【解析】
设 $P(a,2^a),Q(b,\log_2b)$ 使 $|PQ|$ 最小．由 $y=2^x$ 与 $y=\log_2x$ 互为反函数，知点 $P,Q$ 处的切线斜率都是 $1$，直线 $PQ$ 的斜率是 $-1$．故 $2^a=b=\dfrac{1}{\ln 2},|PQ|=|a-b|\sqrt{2}=\dfrac{1+\ln(\ln 2)}{\ln 2}\sqrt{2}$．
题目
答案
解析
备注
