设 $H$ 是 $\triangle ABC$ 的垂心，且 $3\overrightarrow{HA}+4\overrightarrow{HB}+5\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}$，则 $\cos\angle AHB=$ ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
【答案】
$-\dfrac{\sqrt{6}}{6}$
【解析】
由题设得 $\dfrac{\tan A}{3}=\dfrac{\tan B}{4}=\dfrac{\tan C}{5}=\lambda$．再由 $\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$，得 $\lambda =\dfrac{1}{\sqrt{5}},\tan C=\sqrt{5}$．故 $\cos \angle AHB--\cos C=-\dfrac{\sqrt{6}}{6}$．
题目
答案
解析
备注
