记 $f(x)=xe^{-2x}+k$，令 $f^\prime(x)=(1-2x)e^{-2x}=0$，得 $x=\dfrac{1}{2}$．当 $x<\dfrac{1}{2}$ 时，$f^\prime (x)>0$，$f(x)$ 在 $(-\infty,\dfrac{1}{2})$ 上为增函数．当 $x>\dfrac{1}{2}$ 时，$f^\prime (x)<0$，$f(x)$ 在 $(\dfrac{1}{2},+\infty)$ 上为减函数．所以 $f(x)$ 在点 $x=\dfrac{1}{2}$ 处取得最大值 $f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{2e}+k$，当且仅当 $f\left( \dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{1}{2e}+k>0,f\left(-2 \right)=-2{{e}^{4}}+k<0,f\left( 2 \right)=2{{e}^{-4}}+k<0$
时，$xe^{-2x}+k=0$ 在区间 $(-2,2)$ 内恰有两个实根，故 $k$ 的取值范围是 $(-\dfrac{1}{2e},-\dfrac{2}{e^4})$．