记"取出两个球"为事件 $A$，"取出两个白球"为事件 $B$，"取出一红一白两个球"为事件 $C$，则 $P(A)=\dfrac{{\rm C}_m^2}{{\rm C}_{m+n}^2},P(B)=\dfrac{{\rm C}_n^2}{{\rm C}_{m+n}^2},P(C)=\dfrac{{\rm C}_m^1\cdot {\rm C}_n^1}{{\rm C}_{m+n}^2}$．依题意得 $P(A)+P(B)=P(C)$，即 ${\rm C}_m^2+{\rm C}_n^2={\rm C}_m^1{\rm C}_m^1$．所以 $m+n=(m-n)^2$，从而 $m+n$ 为完全平凡数．又由 $m>n\geqslant 4$ 及 $m+n\leqslant 40$，得 $9\leqslant m+n\leqslant 40$．所以 $\begin {cases}
m+n=9\\
m-n=3\\
\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m+n=16\\
m-n=4\\
\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m+n=25\\
m-n=5\\
\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m+n=36\\
m-n=6\\
\end{cases}$ 解之得 $(m,n)=(6,3)$（舍去），或 $(10,6)$，或 $(15,10)$，或 $(21,15)$．故符合题意的数组 $(m,n)$ 有 $3$ 个．