圆 $x^2+y^2=8$ 围成的封闭区域内的整点数为 $1+4\times 2+4\displaystyle\sum_{x=1}^2[\sqrt{8-x^2}]=9+4([7]+2)=25$．$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{4}=1$ 围成的封闭区域内的整点数为 $5+2\times [a]+4\displaystyle\sum_{x=1}^{[a]}[2+\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}}]$．．对任意 $k\in\mathbf N,1\leqslant k\leqslant [a],2\sqrt{[1-\dfrac{k^2}{a^2}]}<2\Rightarrow[2\sqrt{1-\dfrac{k^2}{a^2}}]\leqslant 1$，且 $[2\sqrt{1-\dfrac{k^2}{a^2}}]=1\Leftrightarrow \dfrac{2k}{\sqrt{3}}\leqslant a<[a]+1$．令 $m$ 是满足上式 $k$ 的最大整数，则 $125=5+2\times [a]+4\displaystyle\sum_{x=1}^{[a]}[2\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}}]=5+2[a]+4m\geqslant 4+6[a]\Rightarrow [a]\geqslant 20$．注意到 $\dfrac{2\times 17}{\sqrt{3}}<20$，可得 $m\geqslant 17$，因此 $125=5+2[a]+4m\leqslant 5+2[a]+68\Rightarrow [a]\leqslant 26$．若 $[a]\geqslant 123$，则由 $\dfrac{2\times 19}{\sqrt{3}}<23$，可知满足条件 $\dfrac{2m}{\sqrt{3}}\leqslant a<[a]+1$ 的最大整数 $m\geqslant 19$，因此 $125=5+2[a]+4m\geqslant 5+2\times 23+4\times 19=127$，矛盾．所以 $20\leqslant [a]\leqslant 22$．若 $[a]=20$，则 $125=5+2\times 20+4m\Rightarrow m=20$，但 $\dfrac{2\times 20}{\sqrt{3}}>21$，与 $\dfrac{2m}{\sqrt{3}}\leqslant a<[a]+1=21$ 矛盾．若 $[a]=21$，则 $125=5+2\times 21+4m\Rightarrow 4m=78$，不可能．因此 $[a]=22,125=5+2\times 22+4m\Rightarrow m=19$，不难验证 $\dfrac{2\times 19}{\sqrt{3}}<22\leqslant a<[a]+1=23<\dfrac{2\times 20}{\sqrt{3}}$，故 $22\leqslant a<23$．