设 $a\in\mathbf R$，若 $x>0$ 时，均有 $(x^2+ax-5)(ax-1)\geqslant 0$ 成立，那么 $a=$ ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛广西壮族自治区预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【解析】
当 $a=0$ 时，显然不能使原不等式对任意的 $x>0$ 恒成立，因此 $a\ne 0$．注意到 $y=x^2+ax-5$ 的开口向上，所以必然要求 $a>0$．对于方程 $x^2+ax-5=0$，设其两根为 $x_1,x_2$，且 $x_1<x_2$．易知 $x_1<0,x_2>0$，令 $x_3=\dfrac{1}{a}$．由 $x>0$ 时，原不等式恒成立，可知 $x_2=x_3$，故 $\dfrac{-a+\sqrt{a^2+20}}{2}=\dfrac{1}{a}$，解得 $a=\dfrac{1}{2}$．
题目
答案
解析
备注
