设函数 $f\left(x\right)\left(x \in {\mathbb{R}}\right)$ 满足 $f\left(x + {\mathrm \pi} \right) = f\left(x\right) + \sin x$．当 $0 \leqslant x < {\mathrm \pi} $ 时，$f\left(x\right) = 0$，则 $f\left(\dfrac{{23{\mathrm \pi} }}{6}\right) = $ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年高考安徽卷（理）
【标注】
【答案】
A
【解析】
利用条件把映射 $f$ 下的原象逐步转化到 $[0,{\mathrm \pi})$ 内后，结合诱导公式求值即可．由题意，得\[\begin{split} f\left(\dfrac{23{\mathrm \pi} }{6}\right)&=f\left(\dfrac{17{\mathrm \pi} }{6}\right)+\sin\dfrac{17{\mathrm \pi} }{6}
\\&=f\left(\dfrac{11{\mathrm \pi} }{6}\right)+\sin\dfrac{11{\mathrm \pi} }{6}+\sin\dfrac{17{\mathrm \pi} }{6}
\\&=f\left(\dfrac{5{\mathrm \pi} }{6}\right)+\sin\dfrac{5{\mathrm \pi} }{6}+\sin\dfrac{11{\mathrm \pi} }{6}+\sin\dfrac{17{\mathrm \pi} }{6}
\\&\overset {\left[a\right]}=0+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}.\end{split} \]（推导中用到 $\left[a\right] $．）
\\&=f\left(\dfrac{11{\mathrm \pi} }{6}\right)+\sin\dfrac{11{\mathrm \pi} }{6}+\sin\dfrac{17{\mathrm \pi} }{6}
\\&=f\left(\dfrac{5{\mathrm \pi} }{6}\right)+\sin\dfrac{5{\mathrm \pi} }{6}+\sin\dfrac{11{\mathrm \pi} }{6}+\sin\dfrac{17{\mathrm \pi} }{6}
\\&\overset {\left[a\right]}=0+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}.\end{split} \]（推导中用到 $\left[a\right] $．）
题目
答案
解析
备注
