设点 $Q$ 在 $\triangle ABC$ 所在平面 $\alpha$ 内，点 $P$ 在平面 $\alpha$ 外．若对任意的实数 $x$ 和 $y$，$|\overrightarrow{AP}-x\overrightarrow{AB}-y\overrightarrow{AC}|\geqslant |\overrightarrow{PQ}|$，则向量 $\overrightarrow{PQ}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 所成的角 $\theta=$ ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛广西壮族自治区预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac{\pi}{2}$
【解析】
设 $\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，则点 $M$ 也在平面 $\alpha$ 内，$|\overrightarrow{MP}|=|\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}|\geqslant |\overrightarrow{PQ}|$，故 $PQ\bot$ 平面 $\alpha$，所以向量 $\overrightarrow{PQ}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 所成的角为 $\dfrac{\pi}{2}$．
题目
答案
解析
备注
