设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1,a_{n+1}=5a_n+1(n=1,2,\cdots)$，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^{2018}a_n=$ ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛浙江省预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac{5^{2019}}{16}-\dfrac{8077}{16}$
【解析】
由 $a_{n+1}=5a_n+1$ 得到 $a_{n+1}+\dfrac{1}{4}=5(a_n+\dfrac{1}{4})$，进而有 $a_n=\dfrac{5^n}{4}-\dfrac{1}{4}$，所以 $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{2018}{{{a}_{n}}}=\dfrac{1}{4}\left({{5}^{1}}+{{5}^{2}}+\cdots +{{5}^{2018}} \right)-\dfrac{2018}{4}=\dfrac{5}{16}\left({{5}^{2018}}-1 \right)-\dfrac{2018}{4}=\dfrac{{{5}^{2019}}}{16}-\dfrac{8077}{16}$．
题目
答案
解析
备注
