设 $|\overrightarrow{AB}|=10$，若平面上点 $P$ 满足，对于任意 $t\in\mathbf R$，有 $|\overrightarrow{AP}-t\overrightarrow{AB}|\geqslant 3$，则 $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$ 的最小值为 ，此时 $|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}|=$ ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛浙江省预赛
【标注】
【答案】
$-16,6$
【解析】
由 $|\overrightarrow{AP}-t\overrightarrow{AB}|\geqslant 3$ 可知点 $P$ 到直线 $AB$ 的距离为 $3$．设 $AB$ 的中点为 $O$．于是 $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=\dfrac{1}{4}\left[ {{\left(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB} \right)}^{2}}-{{\left(\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB} \right)}^{2}} \right]=\dfrac{1}{4}\left[{{\left( 2PO \right)}^{2}}-{{10}^{2}} \right]\geqslant \dfrac{1}{4}\left( 36-100\right)=-16$．此时 $|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}|=6$．
题目
答案
解析
备注
