如果函数 $y=3\cos (2x+\varphi)$ 的图像关于点 $(\dfrac{4\pi}{3},0)$ 中心对称，那么 $|\varphi|$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛湖南省预赛（B卷）
【标注】
【答案】
$\dfrac{\pi}{6}$
【解析】
由 $y=3\cos(2x+\varphi)$ 的图像关于点 $(\dfrac{4\pi}{3},0)$ 中心对称知，$f(\dfrac{4\pi}{3})=0$，即 $\dfrac{8\pi}{3}+\varphi=k\pi+\dfrac{\pi}{2}(k\in\mathbf Z)$，即 $\varphi=k\pi-\dfrac{8\pi}{3}+\dfrac{\pi}{2}(k\in\mathbf Z)$．因此，$|\varphi|$ 的最小值为 $|\varphi|_{\min}=|(k-2)\pi-\dfrac{\pi}{6}|_{\min}=\dfrac{\pi}{6}$．
题目
答案
解析
备注
