如图，将一个边长为 $1$ 的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去正中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫．设 $A_n$ 是第 $n$ 次挖去的小三角形面积之和（如 $A_1$ 是第 $1$ 次挖去的中间小三角形面积，$A_2$ 是第 $2$ 次挖去的三个小三角形面积之和），则前 $n$ 次挖去的所有小三角形面积之和的值为 ．
\[边长为 1 的原等边三角形\]
\[第一次\]
\[第二次\]\[......\]
\[边长为 1 的原等边三角形\]\[第一次\]\[第二次\]\[......\]【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛湖南省预赛（B卷）
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{4}[1-(\dfrac{3}{4})^n]$
【解析】
原正三角形的面积为 $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$，而第 $k$ 次一共挖去 $3^{k-1}$ 个小三角形，$A_k=\dfrac{\sqrt{3}}{16}(\dfrac{3}{4})^{k-1}$．因此，可以采用等比级数求和公式，得到答案为 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}{{{A}_{k}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{16}\sum\limits_{k=1}^{n}{{{\left(\dfrac{3}{4} \right)}^{k-1}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{16}\dfrac{1-{{\left( \dfrac{3}{4}\right)}^{n}}}{1-\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\left[ 1-{{\left( \dfrac{3}{4}\right)}^{n}} \right]$．
题目
答案
解析
备注
