如图放置的边长为 $1$ 的正方形 $ABCD$ 沿 $x$ 轴正向滚动，即先以 $A$ 为中心顺时针旋转，当 $B$ 落在 $x$ 轴上时，再以 $B$ 为中心顺时针旋转，如此继续，设顶点 $C$ 滚动时的轨迹方程为 $y=f(x)$，则 $f(x)$ 在 $[2017,2018]$ 上的表达式为 ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛湖南省预赛（B卷）
【标注】
【答案】
$f(x)=\sqrt{1+2(x-2016)-(x-2016)^2}$
【解析】
$y=f(x)=\begin{cases}
\sqrt{1+2x-x^2},x\in[0,2]\\
\sqrt{4x-x^2-3},x\in(2,3]\\
\sqrt{8x-x^2-15},x\in(3,4]\\
\end{cases}$ 由于 $f(x)$ 是以 $4$ 为周期的周期函数，所以当 $x\in[2017,2018]$ 时 $x-504\cdot 4=x-2016\in[1,2]$．此时由周期性及 ① 式的结果得到 $f(x)=f(x-504\cdot 4)=\sqrt{1+2(x-2016)-(x-2016)^2}$．
\sqrt{1+2x-x^2},x\in[0,2]\\
\sqrt{4x-x^2-3},x\in(2,3]\\
\sqrt{8x-x^2-15},x\in(3,4]\\
\end{cases}$ 由于 $f(x)$ 是以 $4$ 为周期的周期函数，所以当 $x\in[2017,2018]$ 时 $x-504\cdot 4=x-2016\in[1,2]$．此时由周期性及 ① 式的结果得到 $f(x)=f(x-504\cdot 4)=\sqrt{1+2(x-2016)-(x-2016)^2}$．
题目
答案
解析
备注
