设 $a+b=1,b>0,a\ne 0$，则 $\dfrac{1}{|a|}+\dfrac{2|a|}{b}$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛湖南省预赛（B卷）
【标注】
【答案】
$2\sqrt{2}-1$
【解析】
$\dfrac{1}{|a|}+\dfrac{2|a|}{b}=\dfrac{a+b}{|a|}+\dfrac{2|a|}{b}=\dfrac{a}{|a|}+(\dfrac{b}{|a|}+\dfrac{2|a|}{b})\geqslant \dfrac{a}{|a|}+2\sqrt{\dfrac{b}{|a|}\cdot\dfrac{2|a|}{b}}=2\sqrt{2}+\dfrac{a}{|a|}$，
其中等号成立的条件是 $\dfrac{b}{|a|}=\dfrac{2|a|}{b}$，即 $b^2=2a^2$．当 $a>0$ 时，$\dfrac{1}{|a|}+\dfrac{2|a|}{b}\geqslant 2\sqrt{2}+1$，当 $a=\sqrt{2}-1,b=\sqrt{2}a=2-\sqrt{2}$ 时达到最小值．
当 $a<0$ 时，$\dfrac{1}{|a|}+\dfrac{2|a|}{b}\geqslant 2\sqrt{2}-1$，当 $a=-(\sqrt{2}+1),b=-\sqrt{2}a$ 时达到最小值 $2\sqrt{2}-1$．
其中等号成立的条件是 $\dfrac{b}{|a|}=\dfrac{2|a|}{b}$，即 $b^2=2a^2$．当 $a>0$ 时，$\dfrac{1}{|a|}+\dfrac{2|a|}{b}\geqslant 2\sqrt{2}+1$，当 $a=\sqrt{2}-1,b=\sqrt{2}a=2-\sqrt{2}$ 时达到最小值．
当 $a<0$ 时，$\dfrac{1}{|a|}+\dfrac{2|a|}{b}\geqslant 2\sqrt{2}-1$，当 $a=-(\sqrt{2}+1),b=-\sqrt{2}a$ 时达到最小值 $2\sqrt{2}-1$．
题目
答案
解析
备注
