设 $a,b\in\mathbf R,a<b$，函数 $g(x)=\max\limits_{a\leqslant t\leqslant b}|x+t|(x\in\mathbf R)$（其中 $\max\limits_{a\leqslant t\leqslant b}$ 表示对于 $x\in\mathbf R$，当 $t\in[a,b]$ 时表达式 $|x+t|$ 的最大值），则 $g(x)$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛湖南省预赛（B卷）
【标注】
【答案】
$\dfrac{b-a}{2}$
【解析】
对于每一个 $x\in\mathbf R$，函数 $f(t)=x+t$ 是线性函数，因此，在任意有限闭区间上，函数 $|f(t)|$ 的最大值与最小值均在区间端点处达到，从而有 $g(x)=\max\limits_{a\leqslant t\leqslant b}|x+t|=\max\limits_{a,b}\{|x+a|,|x+b|\}.$ 由于函数 $y=|x+a|,y=|x+b|$ 图像交点的横坐标 $c$ 满足 $-(c+b)=c+a\Rightarrow c=-\dfrac{a+b}{2}$，得到 $g(x)=\begin{cases}
|x+a|,x\leqslant c\\
|x+b|,x>c\\
\end{cases}$ 其图像为两条折线组成，且 $\min\limits_{x}g(x)=g(c)=\dfrac{b-a}{2}$．
|x+a|,x\leqslant c\\
|x+b|,x>c\\
\end{cases}$ 其图像为两条折线组成，且 $\min\limits_{x}g(x)=g(c)=\dfrac{b-a}{2}$．
题目
答案
解析
备注
