已知数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 满足：$b_n=\begin{cases}
a_{\frac{n+1}{2}},n为奇数\\
\sqrt{a_{n+1}},n为偶数\\
\end{cases}$ 若 $\{b_n\}$ 是等比数列，且 $a_2+b_2=108$，则数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 ．
a_{\frac{n+1}{2}},n为奇数\\
\sqrt{a_{n+1}},n为偶数\\
\end{cases}$ 若 $\{b_n\}$ 是等比数列，且 $a_2+b_2=108$，则数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛江苏省预赛（复赛一试）
【标注】
【答案】
$a_n=9^n$
【解析】
因为 $\{b_n\}$ 是等比数列，所以其子列 $\{b_{2n-1}\}$ 也成等比数列，而 $b_{2n-1}=a_n$，故 $\{a_n\}$ 也是等比数列，设其公比为 $q$．
又 $b_1=a_1,b_2=\sqrt{a_3},b_3=a_2$，得 $a_3=a_1a_2$，即 $a_1=q$．又 $a_2+b_2=108$，故 $q^2+q^{\frac{3}{2}}=108$，得 $q=9$，所以 $a_n=9^n$．经检验 $a_n=9^n$ 满足题设条件．
又 $b_1=a_1,b_2=\sqrt{a_3},b_3=a_2$，得 $a_3=a_1a_2$，即 $a_1=q$．又 $a_2+b_2=108$，故 $q^2+q^{\frac{3}{2}}=108$，得 $q=9$，所以 $a_n=9^n$．经检验 $a_n=9^n$ 满足题设条件．
题目
答案
解析
备注
