设 $4$ 次整系数多项式 $f(x)$ 满足 $f(1+\sqrt[3]{3})=1+\sqrt[3]{3},f(1+\sqrt{3}=7+\sqrt{3})$，则 $f(x)=$ ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛江苏省预赛（复赛一试）
【标注】
【答案】
$f(x)=x^4-3x^3+3x^2-3x$
【解析】
令 $g(x)=f(x)-x$，及 $h(x)=g(x+1)$，则由 $h(\sqrt[3]{3})=g(1+\sqrt[3]{3})=0$ 知 $h(x)=(x^3-3)(ax+b),a,b\in\mathbf Z$．因此 $h(\sqrt{3})=g(\sqrt{3}+1)=f(1+\sqrt{3})-(1+\sqrt{3})=6$，即 $(3\sqrt{3}-3)(a\sqrt{3}+b)=6$，得 $a=b=1$．所以 $f(x)=g(x)+x=h(x-1)+x=[(x-1)^3-3](x-1+1)+x=x^4-3x^3+3x^2-3x$．
题目
答案
解析
备注
