方程 $[\dfrac{x+1}{10}]=[\dfrac{x-1}{5}]$ 的解集为 ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛内蒙古自治区预赛
【标注】
【答案】
$[-4,-1)\bigcup [1,6)\bigcup [9,11)$
【解析】
$[\dfrac{x+1}{10}]=[\dfrac{x-1}{5}]$，则 $\dfrac{x+1}{10}-\dfrac{x-1}{5}\in(-1,1)$，即 $\dfrac{3-x}{10}\in(-1,1)$，解得 $x\in(-7,13)$，此时 $\dfrac{x+1}{10}\in(-\dfrac{3}{5},\dfrac{7}{5})$．
当 $-\dfrac{3}{5}<\dfrac{x+1}{10}<0$ 时，$-7<x<-1,-\dfrac{8}{5}<\dfrac{x-1}{5}<-\dfrac{2}{5}$．由 $[\dfrac{x+1}{10}]=[\dfrac{x-1}{5}]$，得 $-1\leqslant \dfrac{x-1}{5}<-\dfrac{2}{5}$，解得 $-4\leqslant x\leqslant -1$．
当 $0\leqslant \dfrac{x+1}{10}<1$ 时，$-1\leqslant x<9,-\dfrac{2}{5}<\dfrac{x-1}{5}<\dfrac{8}{5}$．由 $[\dfrac{x+1}{10}]=[\dfrac{x-1}{5}]$，得 $0\leqslant \dfrac{x-1}{5}<1$，解得 $1\leqslant x<6$．
当 $1\leqslant\dfrac{x+1}{10}<\dfrac{7}{5}$ 时，$9\leqslant x<13,\dfrac{8}{5}<\dfrac{x-1}{5}<\dfrac{12}{5}$．由 $[\dfrac{x+1}{10}]=[\dfrac{x-1}{5}]$，得 $\dfrac{8}{5} \leqslant\dfrac{x-1}{5}<2$，解得 $9\leqslant x<11$．
故解集为 $[-4,-1)\bigcup [1,6)\bigcup [9,11)$．
当 $-\dfrac{3}{5}<\dfrac{x+1}{10}<0$ 时，$-7<x<-1,-\dfrac{8}{5}<\dfrac{x-1}{5}<-\dfrac{2}{5}$．由 $[\dfrac{x+1}{10}]=[\dfrac{x-1}{5}]$，得 $-1\leqslant \dfrac{x-1}{5}<-\dfrac{2}{5}$，解得 $-4\leqslant x\leqslant -1$．
当 $0\leqslant \dfrac{x+1}{10}<1$ 时，$-1\leqslant x<9,-\dfrac{2}{5}<\dfrac{x-1}{5}<\dfrac{8}{5}$．由 $[\dfrac{x+1}{10}]=[\dfrac{x-1}{5}]$，得 $0\leqslant \dfrac{x-1}{5}<1$，解得 $1\leqslant x<6$．
当 $1\leqslant\dfrac{x+1}{10}<\dfrac{7}{5}$ 时，$9\leqslant x<13,\dfrac{8}{5}<\dfrac{x-1}{5}<\dfrac{12}{5}$．由 $[\dfrac{x+1}{10}]=[\dfrac{x-1}{5}]$，得 $\dfrac{8}{5} \leqslant\dfrac{x-1}{5}<2$，解得 $9\leqslant x<11$．
故解集为 $[-4,-1)\bigcup [1,6)\bigcup [9,11)$．
题目
答案
解析
备注
