方程 $2\sqrt{x-4}+3\sqrt{y-9}+4\sqrt{z-16}=\dfrac{1}{2}(x+y+z)$ 的实数解 $(x,y,z)=$ ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛内蒙古自治区预赛
【标注】
【答案】
$(8,18,32)$
【解析】
令 $\sqrt{x-4}=t_1,\sqrt{y-9}=t_2,\sqrt{z-16}=t_3$，则 $x=t_1^2+4,y=t_2^2+9,z=t_3^2+16$．所以 $2{{t}_{1}}+3{{t}_{2}}+4{{t}_{3}}=\frac{1}{2}\left(t_{1}^{2}+4+t_{2}^{2}+9+t_{3}^{2}+16 \right),{{\left( {{t}_{1}}-2\right)}^{2}}+{{\left( {{t}_{2}}-3 \right)}^{2}}+{{\left( {{t}_{3}}-4\right)}^{2}}=0$，故 $t_1=2,t_2=3,t_3=4$，所以 $(x,y,z)=(8,18,32)$．
题目
答案
解析
备注
