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设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf R$ 上的以 $2$ 为周期的偶函数，在区间 $[0,1]$ 上严格递减，且满足 $f(\pi)=1,f(2\pi)=2$，则不等式组 $\begin{cases}
1\leqslant x\leqslant 2\\
1\leqslant f(x)\leqslant 2\\
\end{cases}$ 的解集为 ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛（A卷一试试题）
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的奇偶性
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的周期性
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的单调性
【答案】
$[\pi-2,8-2\pi]$
【解析】
由 $f(x)$ 为偶函数及在 $[0,1]$ 上严格递减知，$f(x)$ 在 $[-1,0]$ 上严格递增，再结合 $f(x)$ 以 $2$ 为周期可知，$[1,2]$ 是 $f(x)$ 的严格递增区间．注意到 $f(\pi-2)=f(\pi)=1,f(8-2\pi)=f(-2\pi)=f(2\pi)=2$，所以 $1\leqslant f(x)\leqslant 2\Leftrightarrow f(\pi-2)\leqslant f(x)\leqslant f(8-2\pi)$，而 $1<\pi-2<8-2\pi<2$，故原不等式组成立当且仅当 $x\in[\pi-2,8-2\pi]$．
题目 答案 解析 备注
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