设抛物线 $C:y^2=2x$ 的准线与 $x$ 轴交于点 $A$，过点 $B(-1,0)$ 作一直线 $l$ 与抛物线 $C$ 相切于点 $K$，过点 $A$ 作 $l$ 的平行线，与抛物线 $C$ 交于点 $M,N$，则 $\triangle KMN$ 的面积为 ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛（B卷一试试题）
【标注】
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【解析】
设直线 $l$ 与 $MN$ 的斜率为 $k$，则 $l:x=\dfrac{1}{k}y-1,MN:x=\dfrac{1}{k}y-\dfrac{1}{2}$．
将 $l$ 与 $C$ 联立，得方程 $y^2-\dfrac{2}{k}y+2=0$，由条件知其判别式为零，故 $k=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}$．将 $MN$ 与 $C$ 联立，得方程 $y^2-\dfrac{2}{k}y+1=0$，于是 $|y_M-y_N|=\sqrt{(y_M+y_N)^2-4y_My_N}=\sqrt{\dfrac{4}{k^2}-4}=2$，结合 $l$ 与 $MN$ 平行，可知 ${{S}_{\vartriangle KMN}}={{S}_{\vartriangle BMN}}=\left| {{S}_{\vartriangle BAM}}-{{S}_{\vartriangle BAN}} \right|=\dfrac{1}{2}\cdot \left| AB \right|\cdot\left| {{y}_{M}}-{{y}_{N}} \right|=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 2=\dfrac{1}{2}$．
将 $l$ 与 $C$ 联立，得方程 $y^2-\dfrac{2}{k}y+2=0$，由条件知其判别式为零，故 $k=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}$．将 $MN$ 与 $C$ 联立，得方程 $y^2-\dfrac{2}{k}y+1=0$，于是 $|y_M-y_N|=\sqrt{(y_M+y_N)^2-4y_My_N}=\sqrt{\dfrac{4}{k^2}-4}=2$，结合 $l$ 与 $MN$ 平行，可知 ${{S}_{\vartriangle KMN}}={{S}_{\vartriangle BMN}}=\left| {{S}_{\vartriangle BAM}}-{{S}_{\vartriangle BAN}} \right|=\dfrac{1}{2}\cdot \left| AB \right|\cdot\left| {{y}_{M}}-{{y}_{N}} \right|=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 2=\dfrac{1}{2}$．
题目
答案
解析
备注
