已知复数 $z_1,z_2,z_3$ 满足 $|z_1|=|z_2|=|z_3|=1,|z_1+z_2+z_3|=r$，其中 $r$ 是给定实数，则 $\dfrac{z_1}{z_2}+\dfrac{z_2}{z_3}+\dfrac{z_3}{z_1}$ 的实数是 （用含有 $r$ 的式子表示）．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛（B卷一试试题）
【标注】
【答案】
$\dfrac{r^2-3}{2}$
【解析】
记 $w=\dfrac{z_1}{z_2}+\dfrac{z_2}{z_3}+\dfrac{z_3}{z_1}$．由复数模的性质可知 $\overline{z_1}=\dfrac{1}{z_1},\overline{z_2}=\dfrac{1}{z_2},\overline{z_3}=\dfrac{1}{z_3}$，因此 $w=z_1\overline{z_2}+z_2\overline{z_3}+z_3\overline{z_1}$．于是 ${{r}^{2}}=\left({{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}} \right)\left(\overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{3}}} \right)={{\left|{{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{3}}\right|}^{2}}+w+\overline{w}=3+2\operatorname{Re}w$，解得 $\operatorname{Re}w=\dfrac{r^2-3}{2}$．
题目
答案
解析
备注
