若 $a > b > 0$,$c < d < 0$,则一定有 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年高考四川卷(文)
【标注】
【答案】
D
【解析】
一定正确或错误的不等关系可以根据不等式的性质推导.因为 $a > b $,$c < 0$,所以 $ ac < bc $,即 $ ac -bc < 0. \quad \cdots \cdots ① $
因为 $ b > 0$,$c < d $,所以 $ bc<bd $,即 $ bc-bd<0 . \quad \cdots \cdots ② $
$ ① + ② $,得 $ ac -bd <0 $.又因为\[\dfrac{a}{d} - \dfrac{b}{c}=\dfrac {ac-bd}{cd}<0,\]所以 $\dfrac{a}{d} < \dfrac{b}{c}$.故D正确,C错误.
$\dfrac{a}{c} $ 与 $ \dfrac{b}{d}$ 的大小关系不确定.如:当 $a=2 $,$ b=1 $,$c=-2 $,$ d=-1 $ 时,\[\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d};\]当 $a=3 $,$ b=1 $,$c=-2 $,$ d=-1 $ 时,\[\dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{d};\]当 $a=3 $,$ b=2 $,$c=-2 $,$ d=-1 $ 时,\[\dfrac{a}{c} > \dfrac{b}{d}.\]故A、B均不正确.
因为 $ b > 0$,$c < d $,所以 $ bc<bd $,即 $ bc-bd<0 . \quad \cdots \cdots ② $
$ ① + ② $,得 $ ac -bd <0 $.又因为\[\dfrac{a}{d} - \dfrac{b}{c}=\dfrac {ac-bd}{cd}<0,\]所以 $\dfrac{a}{d} < \dfrac{b}{c}$.故D正确,C错误.
$\dfrac{a}{c} $ 与 $ \dfrac{b}{d}$ 的大小关系不确定.如:当 $a=2 $,$ b=1 $,$c=-2 $,$ d=-1 $ 时,\[\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d};\]当 $a=3 $,$ b=1 $,$c=-2 $,$ d=-1 $ 时,\[\dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{d};\]当 $a=3 $,$ b=2 $,$c=-2 $,$ d=-1 $ 时,\[\dfrac{a}{c} > \dfrac{b}{d}.\]故A、B均不正确.
题目
答案
解析
备注