已知 $f\left(x\right) = \ln \left(1 + x\right) - \ln \left(1 - x\right)$，$x \in \left( - 1,1\right)$．现有下列命题：① $f\left( - x\right) = - f\left(x\right)$；② $f\left(\dfrac{2x}{{{x^2} + 1}}\right) = 2f\left(x\right)$；③ $|f\left(x\right)| \geqslant 2|x|$．其中所有正确命题的序号是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年高考四川卷（理）
【标注】
【答案】
A
【解析】
对于 ①② 可以整理等号左边式子看看与右边是否相等即可，对于 ③ 根据对称性知，只需比较 $ x\in{\left[0,1\right)} $ 时，$f\left(x\right)$ 与 $2x$ 的大小关系即可，可以利用导数分析函数 $y=f\left(x\right)-2x$ 作答．因为 $ f\left(-x\right)=\ln\left(1-x\right)-\ln\left(1+x\right)=-f\left(x\right) $，所以 ① 正确；
因为\[\begin{split}f\left(\dfrac{2x}{{{x^2} + 1}}\right)& = \ln \left(1+\dfrac{2x}{{{x^2} + 1}}\right)-\ln\left(1-\dfrac{2x}{{{x^2} + 1}}\right)\\&\overset {\left[a\right]}= \ln\left[\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)^2\right]\\&=2\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)\\&= 2\left[\ln \left(1 + x\right) - \ln \left(1 - x\right)\right]\\&=2f\left(x\right),\end{split} \]（推导中用到 $ \left[a\right]$．）故 ② 正确；
当 $ x\in{\left[0,1\right)} $ 时，\[ |f\left(x\right)|\geqslant 2|x|⇔f\left(x\right)-2x\geqslant 0 ,\]令 $g\left(x\right)=f\left(x\right)-2x $，则\[g\left(x\right)=\ln\left(1+x\right)-\ln\left(1-x\right)-2x\left(x\in \left[0,1\right)\right), \]因为\[g'\left(x\right)=\dfrac{1}{1+x}
+\dfrac{1}{1-x}-2=\dfrac{2x^2}{1-x^2}
\geqslant 0 ,\]所以 $ g\left(x\right) $ 在 $ \left[0,1\right) $ 上单调递增，所以\[ g\left(x\right)=f\left(x\right)-2x\geqslant g\left(0\right)=0, \]即 $|f\left(x\right)|\geqslant 2|x| $．又 $ f\left(x\right) $ 与 $ y=2x $ 均为奇函数，所以 $x \in \left( - 1,1\right)$ 时，$|f\left(x\right)| \geqslant 2|x|$ 成立，故 ③ 正确．
因为\[\begin{split}f\left(\dfrac{2x}{{{x^2} + 1}}\right)& = \ln \left(1+\dfrac{2x}{{{x^2} + 1}}\right)-\ln\left(1-\dfrac{2x}{{{x^2} + 1}}\right)\\&\overset {\left[a\right]}= \ln\left[\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)^2\right]\\&=2\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)\\&= 2\left[\ln \left(1 + x\right) - \ln \left(1 - x\right)\right]\\&=2f\left(x\right),\end{split} \]（推导中用到 $ \left[a\right]$．）故 ② 正确；
当 $ x\in{\left[0,1\right)} $ 时，\[ |f\left(x\right)|\geqslant 2|x|⇔f\left(x\right)-2x\geqslant 0 ,\]令 $g\left(x\right)=f\left(x\right)-2x $，则\[g\left(x\right)=\ln\left(1+x\right)-\ln\left(1-x\right)-2x\left(x\in \left[0,1\right)\right), \]因为\[g'\left(x\right)=\dfrac{1}{1+x}
+\dfrac{1}{1-x}-2=\dfrac{2x^2}{1-x^2}
\geqslant 0 ,\]所以 $ g\left(x\right) $ 在 $ \left[0,1\right) $ 上单调递增，所以\[ g\left(x\right)=f\left(x\right)-2x\geqslant g\left(0\right)=0, \]即 $|f\left(x\right)|\geqslant 2|x| $．又 $ f\left(x\right) $ 与 $ y=2x $ 均为奇函数，所以 $x \in \left( - 1,1\right)$ 时，$|f\left(x\right)| \geqslant 2|x|$ 成立，故 ③ 正确．
题目
答案
解析
备注
