设 ${F_1}$，${F_2}$ 分别为双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ $\left(a > 0,b > 0\right)$ 的左、右焦点，双曲线上存在一点 $P$ 使得 $\left| {P{F_1}} \right| + \left| {P{F_2}} \right| = 3b$，$\left| {P{F_1}} \right| \cdot \left| {P{F_2}} \right| = \dfrac{9}{4}ab$，则该双曲线的离心率为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年高考重庆卷（理）
【标注】
【答案】
B
【解析】
遇到焦半径，可尝试应用双曲线定义．此题可通过 $\left| {P{F_1}} \right| + \left| {P{F_2}} \right| = 3b$，$\left| {P{F_1}} \right| \cdot \left| {P{F_2}} \right| = \dfrac{9}{4}ab$，$\left|\left|PF_1\right|-\left|PF_2\right|\right|=2a$ 建立起 $a,b,c$ 的关系，继而求得离心率．不妨设 $\left|PF_1\right|>\left|PF_2\right|$，则根据双曲线定义知\[\left| {P{F_1}} \right| - \left| {P{F_2}} \right| =2a\cdots\cdots ① \]又已知\[\left| {P{F_1}} \right| + \left| {P{F_2}} \right| =3b\cdots\cdots ② \]则由 $ ① ^2- ② ^2$ 得\[-4\left| {P{F_1}} \right| \cdot \left| {P{F_2}} \right| =4a^2-9b^2,\]又 $\left| {P{F_1}} \right| \cdot \left| {P{F_2}} \right| =\dfrac 94ab$，所以\[4a^2-9b^2=-9ab,\]结合 $c^2=a^2+b^2$可得双曲线的离心率为 $\mathrm e=\dfrac ca=\dfrac 53$．
题目
答案
解析
备注
