若 $f\left(x\right)=x^2+2\int_0^1{f\left(x\right){\mathrm{d}}x} $，则 $\int_0^1{f\left(x\right){\mathrm{d}}x} = $ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年高考江西卷（理）
【标注】
【答案】
B
【解析】
注意 $\int_0^1{f\left(x\right){\mathrm{d}}x} $ 的实质是一个数值，将其视为待定系数进行求解．利用方程思想和整体思想求解：\[\begin{split}\int_0^1{f\left(x\right){\mathrm{d}}x} &= \int_0^1\left[{{x^2+2\int_0^1{f\left(x\right)}{\mathrm {d}}x}} \right]{\mathrm{d}}x \\&\overset{\left[a\right]}=\left.\left(\dfrac 1 3x^3+2x\int_0^1{f\left(x\right){\mathrm{d}}x} \right)\right|_0^1\\& \overset{\left[a\right]}=\dfrac 1 3+2\int_0^1{f\left(x\right){\mathrm{d}}x},\end{split} \]（推导中用到[a]）．
解方程可得 $\int_0^1{f\left(x\right){\mathrm{d}}x}=- \dfrac 1 3 $．
解方程可得 $\int_0^1{f\left(x\right){\mathrm{d}}x}=- \dfrac 1 3 $．
题目
答案
解析
备注
