若实数 $x$、$y$ 满足 $x^2+y^2+xy=1$，则 $x+y$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
2011年高考浙江卷（文）
【标注】
【答案】
$\dfrac{2\sqrt 3}3$
【解析】
因为 $x^2+y^2+xy=1$，所以\[(x+y)^2=xy+1.\]又 $xy\leqslant \left(\dfrac{x+y}2\right)^2$，所以\[(x+y)^2\leqslant \left(\dfrac{x+y}2\right)^2+1,\]即 $\dfrac 3 4(x+y)^2\leqslant 1$．所以 $(x+y)^2\leqslant \dfrac 4 3$．所以\[-\dfrac{2\sqrt 3}3\leqslant x+y\leqslant \dfrac{2\sqrt 3}3.\]所以 $x+y$ 的最大值为 $\dfrac{2\sqrt 3}3$．
题目
答案
解析
备注
