如图，$\triangle ABC$ 是圆的内接三角形，$\angle BAC$ 的平分线交圆于点 $D$，交 $BC$ 于 $E$，过点 $B$ 的圆的切线与 $AD$ 的延长线交于点 $F$，在上述条件下，给出下列四个结论：① $BD$ 平分 $\angle CBF$；② ${FB}^2 = FD \cdot FA$；③ $AE \cdot CE = BE \cdot DE$；④ $AF \cdot BD = AB \cdot BF$．则所有正确结论的序号是 \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
2014年高考天津卷（理）
【标注】
【答案】
D
【解析】
本题考查圆幂定理的推论的应用，常规题型．对于 ①，因为 $BF$ 是圆的切线，所以 $\angle DBF=\angle BAD$，又 $\angle DBC=\angle CAD=\angle BAD$，所以 $\angle DBF=\angle DBC$．故 ① 正确；
对于 ②，根据切割线定理有 ${FB}^2 = FD \cdot FA$，故 ② 正确；
对于 ③，根据相交弦定理，应为 $AE \cdot DECE = BE \cdot CE$，故 ③ 错误；
对于 ④，由 $\triangle BFD\backsim \triangle AFB$，可得 $AF \cdot BD = AB \cdot BF$，故 ④ 正确．
对于 ②，根据切割线定理有 ${FB}^2 = FD \cdot FA$，故 ② 正确；
对于 ③，根据相交弦定理，应为 $AE \cdot DECE = BE \cdot CE$，故 ③ 错误；
对于 ④，由 $\triangle BFD\backsim \triangle AFB$，可得 $AF \cdot BD = AB \cdot BF$，故 ④ 正确．
题目
答案
解析
备注
