已知 $\{a_n\}$ 是公差不为 $0$ 的等差数列，$\{b_n\}$ 是等比数列，其中 $a_1=3$，$b_1=1$，$a_2=b_2$，$3a_5=b_3$，且存在常数 $\alpha$，$\beta$ 使得对每一个正整数 $n$ 都有 $a_n=\log_{\alpha}b_n+\beta$，则 $\alpha+\beta=$ ．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛（一试）
【标注】
【答案】
$\sqrt[3]{3}+3$
【解析】
设 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，$\{b_n\}$ 的公比为 $q$，则\[\begin{split}3+d&=q,\quad\cdots\cdots \text{ ① }\\ 3(3+4d)&=q^2.\quad\cdots\cdots \text{ ② }\end{split}\]① 代入 ②，得$$9+12d=d^2+6d+9,$$求得 $d=6$，$q=9$．从而有 $3+6(n-1)=\log_{\alpha}9^{n-1}+\beta$ 对一切正整数 $n$ 都成立，即 $6n-3=(n-1)\log_{\alpha}9+\beta$ 对一切正整数 $n$ 都成立．从而 $\log_{\alpha}9=6$，$-3=-\log_{\alpha}9+\beta$．求得 $\alpha=\sqrt[3]{3}$，$\beta=3$，$\alpha+\beta=\sqrt[3]{3}+3$．
题目
答案
解析
备注
