函数 $f(x)=a^{2x}+3a^x-2$（$a>0,a\neq 1$）在区间 $x\in [-1,1]$ 上的最大值为 $8$，则它在这个区间上的最小值是 ．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛（一试）
【标注】
【答案】
$-\dfrac 14$
【解析】
令 $a^x=y$，则原函数化为 $g(y)=y^2+3y-2$．$g(y)$ 在 $\left(-\dfrac 32,+\infty\right)$ 上是递增的．
当 $0<a<1$ 时，$y\in \left[a,a^{-1}\right]$，故$$g(y)_{\max}=a^{-2}+3a^{-1}-2=8 \Rightarrow a =\dfrac 12,$$所以$$g(y)_{\min}= 2^{-2}+3\times \dfrac 12 -2=-\dfrac 14;$$当 $a>1$ 时，$y\in \left[a^{-1},a\right]$，故$$g(y)_{\max}=a^{2}+3a-2=8 \Rightarrow a =2,$$所以$$g(y)_{\min}= 2^{-2}+3\times \dfrac 12 -2=-\dfrac 14.$$综上 $f(x)$ 在 $x\in [-1,1]$ 上的最小值为 $-\dfrac 14$．
当 $0<a<1$ 时，$y\in \left[a,a^{-1}\right]$，故$$g(y)_{\max}=a^{-2}+3a^{-1}-2=8 \Rightarrow a =\dfrac 12,$$所以$$g(y)_{\min}= 2^{-2}+3\times \dfrac 12 -2=-\dfrac 14;$$当 $a>1$ 时，$y\in \left[a^{-1},a\right]$，故$$g(y)_{\max}=a^{2}+3a-2=8 \Rightarrow a =2,$$所以$$g(y)_{\min}= 2^{-2}+3\times \dfrac 12 -2=-\dfrac 14.$$综上 $f(x)$ 在 $x\in [-1,1]$ 上的最小值为 $-\dfrac 14$．
题目
答案
解析
备注
