已知正四面体 $ABCD$ 的棱长为 $9$，点 $P$ 是面 $ABC$ 上的一个动点，满足 $P$ 到面 $DAB$、$DBC$、$DCA$ 的距离成等差数列，则 $P$ 到面 $DCA$ 距离的最大值是 ．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛江苏复赛
【标注】
【答案】
$2\sqrt 6$
【解析】
记点 $P$ 到面 $DAB$、$DBC$、$DCA$ 的距离分别为 $d_{1}$、$d_{2}$、$d_{3}$，则 $d_{1}+d_{2}+d_{3}$ 为正四面体 $ABCD$ 的高 $3\sqrt 6$．由 $d_{1}$、$d_{2}$、$d_{3}$ 成等差数列，故 $P$ 到面 $DCA$ 的距离的最大值为 $2\sqrt 6$．
题目
答案
解析
备注
