将小王与小孙现在的年龄按从左至右的顺序排列得到一个四位数，这个数为完全平方数．再过 $31$ 年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数．小王现在的年龄是 ．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛江苏复赛
【标注】
【答案】
$12$
【解析】
设小王现在的年龄是 $a$，小孙现在的年龄是 $b$．设 $a$ 有 $m$ 个数字，$b$ 有 $n$ 个数字，由已知得 $m+n=4$．
如果 $m<2$，那么 $n\geqslant 3$，但在 $31$ 年后，$a$ 是 $2$ 位数，这与题意不符．由对称性，知 $n$ 也不小于 $2$，从而 $m=n=2$．设按照题中要求顺序排列的平方数依次为 $x^{2}$ 和 $y^{2}$，$0<x<y$ 则\[y^{2}=x^{2}+3131,\]即\[(y-x)(y+x)=31\times 101.\]又 $0<x<y$，故 $y-x=31$ 且 $y+x=101$，于是推得 $(x,y)=(35,66)$．
因此 $x^{2}=1225$ 和 $y^{2}=4356$，从而推得小王是 $12$ 岁，小孙是 $25$ 岁．
如果 $m<2$，那么 $n\geqslant 3$，但在 $31$ 年后，$a$ 是 $2$ 位数，这与题意不符．由对称性，知 $n$ 也不小于 $2$，从而 $m=n=2$．设按照题中要求顺序排列的平方数依次为 $x^{2}$ 和 $y^{2}$，$0<x<y$ 则\[y^{2}=x^{2}+3131,\]即\[(y-x)(y+x)=31\times 101.\]又 $0<x<y$，故 $y-x=31$ 且 $y+x=101$，于是推得 $(x,y)=(35,66)$．
因此 $x^{2}=1225$ 和 $y^{2}=4356$，从而推得小王是 $12$ 岁，小孙是 $25$ 岁．
题目
答案
解析
备注
