已知 $\overrightarrow{OA}=1$，$\overrightarrow{OB}=\sqrt3$，$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$，点 $C$ 在 $\angle AOB$ 内，且 $\angle AOC=30^{\circ}$，设 $\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}(m,n\in\mathbb R)$，则 $\dfrac{m}{n}=$ ．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
$3$
【解析】
$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0$
$\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{OB}$
设 $\overrightarrow{OA}$ 方向上的单位向量为 $\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{OB}$ 方向上的单位向量为 $\overrightarrow{j}$
规定 $|\overrightarrow{OC}|=2$
则 $\overrightarrow{OC}=\sqrt3\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}=\sqrt3\overrightarrow{OA}+\dfrac{\sqrt3}{3}\overrightarrow{OB}$
即 $\dfrac{m}{n}=3$
$\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{OB}$
设 $\overrightarrow{OA}$ 方向上的单位向量为 $\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{OB}$ 方向上的单位向量为 $\overrightarrow{j}$
规定 $|\overrightarrow{OC}|=2$
则 $\overrightarrow{OC}=\sqrt3\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}=\sqrt3\overrightarrow{OA}+\dfrac{\sqrt3}{3}\overrightarrow{OB}$
即 $\dfrac{m}{n}=3$
题目
答案
解析
备注
