一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为 ．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛贵州省预赛
【标注】
【答案】
$8:27$
【解析】
设球半径为 $R$，其内接圆锥的底半径为 $r$，高为 $h$，作轴截面，则 $r^{2}=h(2R-h)$．\[\begin{split}V_{\text{锥}}&=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h=\dfrac{\pi}{3}h^{2}(2R-h)\\&=\dfrac{\pi}{6}h^{2}(4R-2h)\\&\leqslant \dfrac{\pi}{6}\left(\dfrac{4R}{3}\right)^{3}\\&=\dfrac{8}{27}\cdot \dfrac{4\pi}{3}R^{3}.\end{split}\]所以，所求比为 $8:27$．
题目
答案
解析
备注
