已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，已知 $S_{10}=0$，$S_{15}=25$，则 $nS_{n}$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛贵州省预赛
【标注】
【答案】
$-49$
【解析】
由 $S_{10}=0$，$S_{15}=25$ 得 $a_{1}=-3$，$d=\dfrac{2}{3}$．所以 $S_{n}=\dfrac{1}{3}n^{2}-\dfrac{10}{3}n$，则\[nS_{n}=\dfrac{1}{3}n^{3}-\dfrac{10}{3}n^{2}.\]令 $f(n)=\dfrac{1}{3}n^{3}-\dfrac{10}{3}n^{2}$，$n\in\mathbb N^{*}$，则 $f'(n)=n^{2}-\dfrac{20n}{3}$．由 $f'(n)=0$ 得 $n=0$ 或 $n=\dfrac{20}{3}$．
所以 $f(n)$ 在 $[1,6]$ 上递减，$[7,+\infty)$ 上递增．而 $f(6)=-48$，$f(7)=-49$，故最小值为 $-49$．
所以 $f(n)$ 在 $[1,6]$ 上递减，$[7,+\infty)$ 上递增．而 $f(6)=-48$，$f(7)=-49$，故最小值为 $-49$．
题目
答案
解析
备注
