已知 $\triangle ABC$ 是边长为 $2013$ 的正三角形，点 $D,E$ 分别在边 $BC,CA$ 上，且 $BD=\dfrac{1}{3}BC$，$CE=\dfrac{1}{3}CA$，$AD\cap BE=P$，$M$ 是线段 $DC$ 的中点，则 $PM=$ ．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛贵州省预赛
【标注】
【答案】
$671$
【解析】
易证 $\triangle ABD\cong \triangle BCE$，所以\[\angle APE=\angle BAD+\angle ABP =\angle CBE+\angle ABP =60^{\circ},\]又 $\angle ECD=60^{\circ}$，所以 $P,D,C,E$ 四点共圆，所以 $\angle DPC=\angle DEC$．
连结 $DE$，由 $\angle ECD=60^{\circ}$ 及 $CE=\dfrac{1}{2}CD$，得 $DE\perp CE$．所以 $CP \perp DP $，即 $\triangle DPC$ 是直角三角形．因为 $M$ 是斜边 $DC$ 的中点，所以\[PM=\dfrac{1}{2}DC=\dfrac{1}{3}BC=\dfrac{1}{3}\times 2013=671.\]
连结 $DE$，由 $\angle ECD=60^{\circ}$ 及 $CE=\dfrac{1}{2}CD$，得 $DE\perp CE$．所以 $CP \perp DP $，即 $\triangle DPC$ 是直角三角形．因为 $M$ 是斜边 $DC$ 的中点，所以\[PM=\dfrac{1}{2}DC=\dfrac{1}{3}BC=\dfrac{1}{3}\times 2013=671.\]
题目
答案
解析
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