由对任意 $x\in\mathbb R$，$f(x)\geqslant 0$ 恒成立，得 $\Delta =b^{2}-4ac\leqslant 0$．又 $a>0$，所以 $c\geqslant \dfrac{b^{2}}{4a}$．所以\[\begin{split}\dfrac{f(1)}{f(0)-f(-1)}&=\dfrac{a+b+c}{c-(a-b+c)}\\&=\dfrac{a+b+c}{b-a}\\&\geqslant \dfrac{a+b+\dfrac{b^{2}}{4a}}{b-a}\\&=\dfrac{1+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b^{2}}{4a^{2}}}{\dfrac{b}{a}-1}.\end{split}\]令 $t=\dfrac{b}{a}$，则 $\dfrac{f(1)}{f(0)-f(-1)}=\dfrac{1+t+\dfrac{1}{4}t^{2}}{t-1}(t>2)$．再令 $s=t-1$，则\[\begin{split}\dfrac{f(1)}{f(0)-f(-1)}&=\dfrac{\dfrac{1}{4}s^{2}+\dfrac{3}{2}s+\dfrac{9}{4}}{s}\\&=\dfrac{s}{4}+\dfrac{9}{4s}+\dfrac{3}{2}\\&\geqslant 2\sqrt{\dfrac{s}{4}\cdot \dfrac{9}{4s}}+\dfrac{3}{2}\\&=2\cdot \dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{2}=3\end{split}\]此时 $\dfrac{s}{4}=\dfrac{9}{4s}$ 且 $s>1$，即 $s=3$．