已知函数 $f(x)=x^{3}-3x^{2}+1$，$g(x)=\begin{cases}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+1,x>0\\ -(x+3)^{2}+1,x\leqslant 0,\end{cases}$ 则方程 $g\left[f(x)\right]-a=0$（$a$ 为正常数）的实数根最多有 个．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛贵州省预赛
【标注】
【答案】
$6$
【解析】
方程 $g[f(x)]-a=0$ 的实根个数转化为函数 $y=g[f(x)]$ 与函数 $y=a$ 的交点个数问题．
$(1)$ 当 $a\in(0,1)$ 时，函数 $y=a$ 与 $y=g(x)$ 有两个交点 $x_{1}\in(-4,-3)$ 和 $x_{2}\in(-3,-2)$，而此时方程 $f(x)=x_{1}$ 和 $f(x)=x_{2}$ 的实根分别有 $1$ 个和 $3$ 个，共 $4$ 个；
$(2)$ 当 $a=1$ 时，函数 $y=a$ 与 $y=g(x)$ 有两个交点 $x_{1}=-3$ 和 $x_{2}=\dfrac{1}{2}$，而此时方程 $f(x)=-3$ 和 $f(x)=\dfrac{1}{2}$ 的实根分别有 $2$ 个和 $3$ 个，共 $5$；
$(3)$ 当 $a\in\left(1,\dfrac{5}{4}\right)$ 时，函数 $y=a$ 与 $y=g(x)$ 有两个交点 $x_{1}\in\left(0,\dfrac{1}{2}\right)$ 和 $x_{2}\in\left(\dfrac{1}{2},1\right)$，而此时方程 $f(x)=x_{1}$ 和 $f(x)=x_{2}$ 的实根分别有 $3$ 个和 $3$ 个，共 $6$ 个；
$(4)$ 当 $a\in\left[\dfrac{5}{4},+\infty\right)$ 时，函数 $y6=a$ 与 $y=g(x)$ 有一个交点 $x_{1}\in(1,+\infty)$，而此时方程 $f(x)=x_{1}$ 的实根有 $1$ 个．
综上，方程 $g[f(x)]-a=0$（$a$ 为正常数）的实根最多有 $6$ 个．
$(1)$ 当 $a\in(0,1)$ 时，函数 $y=a$ 与 $y=g(x)$ 有两个交点 $x_{1}\in(-4,-3)$ 和 $x_{2}\in(-3,-2)$，而此时方程 $f(x)=x_{1}$ 和 $f(x)=x_{2}$ 的实根分别有 $1$ 个和 $3$ 个，共 $4$ 个；
$(2)$ 当 $a=1$ 时，函数 $y=a$ 与 $y=g(x)$ 有两个交点 $x_{1}=-3$ 和 $x_{2}=\dfrac{1}{2}$，而此时方程 $f(x)=-3$ 和 $f(x)=\dfrac{1}{2}$ 的实根分别有 $2$ 个和 $3$ 个，共 $5$；
$(3)$ 当 $a\in\left(1,\dfrac{5}{4}\right)$ 时，函数 $y=a$ 与 $y=g(x)$ 有两个交点 $x_{1}\in\left(0,\dfrac{1}{2}\right)$ 和 $x_{2}\in\left(\dfrac{1}{2},1\right)$，而此时方程 $f(x)=x_{1}$ 和 $f(x)=x_{2}$ 的实根分别有 $3$ 个和 $3$ 个，共 $6$ 个；
$(4)$ 当 $a\in\left[\dfrac{5}{4},+\infty\right)$ 时，函数 $y6=a$ 与 $y=g(x)$ 有一个交点 $x_{1}\in(1,+\infty)$，而此时方程 $f(x)=x_{1}$ 的实根有 $1$ 个．
综上，方程 $g[f(x)]-a=0$（$a$ 为正常数）的实根最多有 $6$ 个．
题目
答案
解析
备注
