函数 $f(x)=|x+1|+|x-1|+\sqrt{4-x^{2}}$ 的值域为 ．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
【答案】
$[2+\sqrt 3,2\sqrt 5]$
【解析】
$f(x)$ 为偶函数，定义域为 $[-2,2]$
所以只需讨论函数在 $x\in [0,2]$ 范围内的最值即可
当 $x\in [0,1]$ 时，$f(x)=2+\sqrt{4-x^2}$ 此时函数的最大值为 $4$，最小值为 $2+\sqrt3$
当 $x\in [1,2]$ 时，$f(x)=2x+\sqrt{4-x^2}$
对函数求导可得\[f'(x)=2-\dfrac{x}{\sqrt{4-x^2}}\]当 $f'(x)=0$，即 $x=\dfrac{4\sqrt5}{5}$ 时，函数取得最大值 $f(\dfrac{4\sqrt5}{5})=2\sqrt5$，此时函数最小值为 $f(1)=2+\sqrt3$
综上所述 $f(x)$ 的值域为 $[2+\sqrt3,2\sqrt5]$
所以只需讨论函数在 $x\in [0,2]$ 范围内的最值即可
当 $x\in [0,1]$ 时，$f(x)=2+\sqrt{4-x^2}$ 此时函数的最大值为 $4$，最小值为 $2+\sqrt3$
当 $x\in [1,2]$ 时，$f(x)=2x+\sqrt{4-x^2}$
对函数求导可得\[f'(x)=2-\dfrac{x}{\sqrt{4-x^2}}\]当 $f'(x)=0$，即 $x=\dfrac{4\sqrt5}{5}$ 时，函数取得最大值 $f(\dfrac{4\sqrt5}{5})=2\sqrt5$，此时函数最小值为 $f(1)=2+\sqrt3$
综上所述 $f(x)$ 的值域为 $[2+\sqrt3,2\sqrt5]$
题目
答案
解析
备注
