求方程 $\sin(2013\pi x)=x^{2013}$ 的实根个数，也是求解函数 $f(x)=\sin(2013\pi x)$ 和函数 $g(x)= x^{2013}$ 的交点个数。
函数 $f(x)=\sin(2013\pi x)$ 和函数 $g(x)= x^{2013}$ 均为奇函数
所以 $x=0$ 是方程的一个根
函数 $g(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上为增函数，$g(1)=1$．函数 $f(x)$ 的值域为 $[-1,1]$，所以两个函数的交点只能在 $x\in(0,1)$ 内
函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $T=\dfrac{2\pi}{2013\pi}=\dfrac{2}{2013}$，在区间 $(0,1)$ 内包含 $\dfrac{1}{T}=\dfrac{2013}{2}$ 个周期
在第一个周期 $(0,\dfrac{2}{2013}]$ 内有 $1$ 个交点
在第二个周期 $(\dfrac{2}{2013},\dfrac{4}{2013}]$ 内有 $2$ 个交点
$\cdots\cdots\cdots\cdots$
在第 $1006$ 个周期 内有 $2$ 个交点
最后半个周期内有 $2$ 个交点
所以在 $(0,1]$ 内合计 $1003$ 个交点
同理，在 $[-1,0]$ 内合计 $1003$ 个交点
合计有 $4027$ 个交点