设 $\triangle ABC$ 的外接圆圆心 $P$ 满足 $\overrightarrow{AP}=\dfrac{2}{5}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$，则 $\cos\angle BAC=$ ．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac{1}{4}$
【解析】
$\triangle ABC$ 的外接圆圆心为 $P$
所以 $\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|^2 $，$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|^2 $
即 $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|$
$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{2}{5}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|^2 $
即 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{4}|\overrightarrow{AB}|^2 $
$\cos\angle BAC=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\times|\overrightarrow{AC}|}=\dfrac{1}{4}$
所以 $\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|^2 $，$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|^2 $
即 $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|$
$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{2}{5}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|^2 $
即 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{4}|\overrightarrow{AB}|^2 $
$\cos\angle BAC=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\times|\overrightarrow{AC}|}=\dfrac{1}{4}$
题目
答案
解析
备注
