设复数 $z=x+y{\rm i}$ 满足 $\dfrac{z+1}{z+2}$ 的实部与虚部之比为 $\sqrt 3$，其中 ${\rm i}$ 是虚数单位，$x,y\in\mathbb R$，则 $\dfrac{y}{x}$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac{4\sqrt 2-3\sqrt3}{5}$
【解析】
$\dfrac{z+1}{z+2}=\dfrac{x+y\rm i+1}{x+y\rm i+2}=\dfrac{x^2+3x+2+y^2+y\rm i}{(x+2)^2+y^2}$
因为 $\dfrac{z+1}{z+2}$ 的实部与虚部之比为 $\sqrt 3$
所以 $x^2+3x+2+y^2=\sqrt{3}y$
所以 $(x+\dfrac{3}{2})^2+(y-\dfrac{\sqrt3}{2})^2=1$
设 $\dfrac{y}{x}=k$，则 $y=kx$
则 $\dfrac{|-\dfrac{3}{2}k-\dfrac{\sqrt3}{2}|}{\sqrt{1+k^2}}\leqslant 1$ 化简为 $5k^2+6\sqrt{3}k-1\leqslant 0$
解得：$\dfrac{-3\sqrt3-4\sqrt2}{5}\leqslant k \leqslant\dfrac{-3\sqrt3+4\sqrt2}{5}$
即 $k$ 的最大值为 $\dfrac{-3\sqrt3+4\sqrt2}{5}$
因为 $\dfrac{z+1}{z+2}$ 的实部与虚部之比为 $\sqrt 3$
所以 $x^2+3x+2+y^2=\sqrt{3}y$
所以 $(x+\dfrac{3}{2})^2+(y-\dfrac{\sqrt3}{2})^2=1$
设 $\dfrac{y}{x}=k$，则 $y=kx$
则 $\dfrac{|-\dfrac{3}{2}k-\dfrac{\sqrt3}{2}|}{\sqrt{1+k^2}}\leqslant 1$ 化简为 $5k^2+6\sqrt{3}k-1\leqslant 0$
解得：$\dfrac{-3\sqrt3-4\sqrt2}{5}\leqslant k \leqslant\dfrac{-3\sqrt3+4\sqrt2}{5}$
即 $k$ 的最大值为 $\dfrac{-3\sqrt3+4\sqrt2}{5}$
题目
答案
解析
备注
