设 $\displaystyle (1+x+x^{2})^{150}=\sum\limits_{k=0}^{300}c_{k}x^{k}$，其中 $c_{0},\cdots,c_{300}$ 是常数，则 $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{100}c_{3k}=$ ．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
【答案】
$3^{149}$
【解析】
令 $\displaystyle f(x)=\sum\limits_{k=0}^{300}c_{k}x^{k}$
则 $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{100}c_{3k}=\dfrac{f(1)+f(\dfrac{-1+\sqrt{3}\rm i}{2})+f(\dfrac{-1-\sqrt{3}\rm i}{2})}{3}=3^{149}$
则 $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{100}c_{3k}=\dfrac{f(1)+f(\dfrac{-1+\sqrt{3}\rm i}{2})+f(\dfrac{-1-\sqrt{3}\rm i}{2})}{3}=3^{149}$
题目
答案
解析
备注
