若实数 $x,y$ 满足方程组 $\begin{cases}(x-1)^{2011}+(x-1)^{2009}+2010x=4020,\\ (y-1)^{2011}+(y-1)^{2009}+2010y=0,\end{cases}$ 则 $x+y=$ ．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
根据题意知，原方程组可化为：$$\begin{cases}(x-1)^{2011}+(x-1)^{2009}+2010(x-1)=2010,\\ (y-1)^{2011}+(y-1)^{2009}+2010(y-1)=-2010.\end{cases}$$令 $f(t)=t^{2011}+t^{2009}+2010t,t\in \mathbb R$，则函数 $f(t)$ 为单调递增的奇函数．
由 $f(x-1)=-f(y-1)$，得 $x-1=-(y-1)$，即 $x+y=2$．
由 $f(x-1)=-f(y-1)$，得 $x-1=-(y-1)$，即 $x+y=2$．
题目
答案
解析
备注
