已知 $a,b,c\in \mathbb R$，且 $\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c=\dfrac 1{a+b+c}$，则存在整数 $k$，使下列等式成立的有 个．
① $\left(\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c\right)^{2k+1}=\dfrac 1{a^{2k+1}}+\dfrac 1{b^{2k+1}}+\dfrac 1{c^{2k+1}}$；
② $\dfrac 1{a^{2k+1}}+\dfrac 1{b^{2k+1}}+\dfrac 1{c^{2k+1}}=\dfrac 1{a^{2k+1}+b^{2k+1}+c^{2k+1}}$；
③ $\left(\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c\right)^{2k}=\dfrac 1{a^{2k}}+\dfrac 1{b^{2k}}+\dfrac 1{c^{2k}}$；
④ $\dfrac 1{a^{2k}}+\dfrac 1{b^{2k}}+\dfrac 1{c^{2k}}=\dfrac 1{a^{2k}+b^{2k}}+c^{2k}$．
① $\left(\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c\right)^{2k+1}=\dfrac 1{a^{2k+1}}+\dfrac 1{b^{2k+1}}+\dfrac 1{c^{2k+1}}$；
② $\dfrac 1{a^{2k+1}}+\dfrac 1{b^{2k+1}}+\dfrac 1{c^{2k+1}}=\dfrac 1{a^{2k+1}+b^{2k+1}+c^{2k+1}}$；
③ $\left(\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c\right)^{2k}=\dfrac 1{a^{2k}}+\dfrac 1{b^{2k}}+\dfrac 1{c^{2k}}$；
④ $\dfrac 1{a^{2k}}+\dfrac 1{b^{2k}}+\dfrac 1{c^{2k}}=\dfrac 1{a^{2k}+b^{2k}}+c^{2k}$．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
由 $\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c=\dfrac 1{a+b+c}$ 得$$\dfrac{(bc+ac+ab)(a+b+c)-abc}{abc(a+b+c)}=0.$$令\[\begin{split}P(a,b,c)&=(bc+ac+ab)(a+b+c)-abc\\&=(a+b)(b+c)(c+a).\end{split}\]由 $P(a,b,c)=0$，得 $a=-b$，或 $b=-c$，或 $c=-a$．
代入以上四式检验知 ①② 成立，③④ 不成立．故有两个成立．
代入以上四式检验知 ①② 成立，③④ 不成立．故有两个成立．
题目
答案
解析
备注
