已知 $a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n$ 均为正实数，且满足 $a_1+a_2+\cdots +a_n=1$，$\dfrac 1{a_1}+\dfrac 1{a_2}+\cdots +\dfrac 1{a_n}=4$，则 $a_1a_2\cdots a_n$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac 14$
【解析】
由柯西不等式知$$(a_1+a_2+\cdots +a_n)\left(\dfrac 1{a_1}+\dfrac 1{a_2}+\cdots +\dfrac 1{a_n}\right)\geqslant n^2.$$又因为$$(a_1+a_2+\cdots +a_n)\left(\dfrac 1{a_1}+\dfrac 1{a_2}+\cdots +\dfrac 1{a_n}\right)=4,$$所以 $n^2\leqslant 4$ 且 $n$ 为正整数．可知 $n=1$ 或 $n=2$．
当 $n=1$ 时，则 $a_1=1$，$\dfrac 1{a_1}=1$，这与 $\dfrac 1{a_1}=4$ 矛盾；
当 $n=2$ 时，由柯西不等式取等号的充分必要条件知 $a_1=a_2$，$a_1+a_2=1$．
所以 $a_1=a_2=\dfrac 12$，故 $a_1a_2=\dfrac 14$．
当 $n=1$ 时，则 $a_1=1$，$\dfrac 1{a_1}=1$，这与 $\dfrac 1{a_1}=4$ 矛盾；
当 $n=2$ 时，由柯西不等式取等号的充分必要条件知 $a_1=a_2$，$a_1+a_2=1$．
所以 $a_1=a_2=\dfrac 12$，故 $a_1a_2=\dfrac 14$．
题目
答案
解析
备注
