已知 $k_1,k_2,\cdots ,k_n$ 是互不相同的 $n$ 个正整数，且满足 $k_1^3+k_2^3+\cdots +k_n^3=2024$，则正整数 $n$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛
【标注】
【答案】
$8$
【解析】
因为 $k_1,k_2,\cdots ,k_n$ 是 $n$ 个互不相同的正整数，所以当 $n\geqslant 9$ 时，\[\begin{split}k_1^3+k_2^3+k_3^3+\cdots +k_n^3& \geqslant 1^3+2^3+\cdots +n^3\\&\geqslant 1^3+2^3+3^3+\cdots +9^3\\&=2025.\end{split}\]而 $k_1^3+k_2^3+k_3^3+\cdots +k_n^3=2024$，所以 $n\leqslant 8$．
又 $2^3+3^3+4^3+\cdots +9^3=2024$，所以所求正整数 $n$ 的最大值为 $8$．
又 $2^3+3^3+4^3+\cdots +9^3=2024$，所以所求正整数 $n$ 的最大值为 $8$．
题目
答案
解析
备注
