设向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ 满足 $ \left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|=\sqrt {10} $，$ \left|\overrightarrow a-\overrightarrow b \right|=\sqrt 6 $，则 $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b=$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年高考新课标Ⅱ卷（理）
【标注】
【答案】
A
【解析】
观察发现，对条件 $ \left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|=\sqrt {10} $、$ \left|\overrightarrow a-\overrightarrow b \right|=\sqrt 6 $ 进行平方，正好出现要求的 $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b$．由题意得\[\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2 \overset{\left[a\right]}=\left(\overrightarrow a + \overrightarrow b\right)^2= {10} ,\]\[\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| ^2 \overset{\left[a\right]}= \left(\overrightarrow a - \overrightarrow b\right)^2= 6,\]（推导中用到 $\left[a\right]$），即 $\overrightarrow a^2 +2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b+ \overrightarrow b^2=10$，$\overrightarrow a^2 -2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b +\overrightarrow b^2=6$．
将上述两式左右两边分别相减得\[4\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b=4,\]所以 $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b =1 $．
将上述两式左右两边分别相减得\[4\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b=4,\]所以 $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b =1 $．
题目
答案
解析
备注
