设 $F$ 为抛物线 $C:{y^2} = 3x$ 的焦点，过 $F$ 且倾斜角为 $30^\circ $ 的直线交 $C$ 于 $A,B$ 两点，$O$ 为坐标原点，则 $\triangle OAB$ 的面积为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年高考新课标Ⅱ卷（理）
【标注】
【答案】
D
【解析】
画出草图，观察发现 $S_{\triangle OAB}=\dfrac12|OF||y_A-y_B|$，$|OF|$ 易求，所以只要求得 $|y_A-y_B|$ 的值即可，由此很容易联想到韦达定理，则需要联立直线与抛物线的方程．题中直线方程为 $y=\dfrac{\sqrt 3 }{3}\left(x-\dfrac34\right)$．
将其与抛物线方程联立，消去 $x$，得\[4y^2-12\sqrt 3 y-9=0.\]故 $|y_A-y_B|=\sqrt{\left(y_A+y_B\right)^2-4y_Ay_B}=6$．
因此\[S_{\triangle OAB}=\dfrac12|OF||y_A-y_B|=\dfrac12\cdot\dfrac34\cdot6=\dfrac94.\]
将其与抛物线方程联立，消去 $x$，得\[4y^2-12\sqrt 3 y-9=0.\]故 $|y_A-y_B|=\sqrt{\left(y_A+y_B\right)^2-4y_Ay_B}=6$．
因此\[S_{\triangle OAB}=\dfrac12|OF||y_A-y_B|=\dfrac12\cdot\dfrac34\cdot6=\dfrac94.\]
题目
答案
解析
备注
